PARCIAL 3

ASIGNATURA: ÁLGEBRA

Propósito Asignatura:

Que el estudiante desarrolle el razonamiento matemático y haga uso del lenguaje algebraico en la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados por modelos donde se apliquen conocimientos y conceptos algebraicos.

Relación del Álgebra con otras materias:

Lectura, Expresión Oral y Escrita
Comprensión y escritura de textos, comunicación y argumentación de ideas o soluciones de situaciones problemáticas.
Química y  Bioquímica
Construcción de modelos matemáticos y en la solución de los modelos que resulten de estas formulaciones, graficación de átomos y moléculas en el plano o en el espacio.
Inglés
Traducción y comprensión de textos en una segunda lengua que se requieran utilizar en la solución de problemas matemáticos de la vida cotidiana.
CTSyV
Construcción de modelos matemáticos que representen el desarrollo sustentable, deterioros y/o hechos sociales. TIC Empleo de herramientas computacionales para facilitar el aprendizaje de las Matemáticas. Biología y Ecología Aplicar modelos matemáticos para interpretar procesos biológicos y ecológicos.
Física
Uso de modelos matemáticos, representación gráfica de los fenómenos naturales, conversiones de unidades, etc.
Temas de Administración e Introducción a la Economía Construcción de modelos matemáticos que representen hechos administrativos y económicos.
Dibujo Técnico
Graficación de figuras geométricas, líneas, acotaciones, ángulos, etc.

Competencias propuestas para desarrollar en el estudiante para la materia de Álgebra:

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Interpreta del lenguaje común al algebraico en problemas cotidianos.
3. Resuelve problemas verbales por medio de expresiones algebraicas.
4. Representa y resuelve situaciones utilizando ecuaciones.
5. Desarrolla la capacidad del razonamiento matemático mediante el uso del lenguaje algebraico, con base en la resolución de problemas de la vida cotidiana dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos en los que se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, en un clima de colaboración y respeto.
6. Identifica las matemáticas como una forma de expresión universal, útil en la solución de problemas de la vida por medio de las ecuaciones, del trabajo colaborativo y ser capaces de traducir un problema de lenguaje común al algebraico utilizando la terminología apropiada.

Estructura conceptual de la materia de ÁLGEBRA:

Historia del Álgebra

·        La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c)

·         Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. 

·         Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia.

·         En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas.

·         A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2. 

·         A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación.

·         Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas.

·         Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo. 

·         En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna.

·         El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. 

Programa para la asignatura de Álgebra

·         Representación algebraica de expresiones en lenguaje común
o   Términos para identificar operaciones en lenguaje algebraico
o   Ejemplos

·         Leyes de los exponentes y radicales
o   Potencias
o   Leyes de exponentes
o   Radicación
o   Leyes de radicación

·         Ecuaciones lineales con una incógnita
o   Resolución y evaluación de ecuaciones

·         Ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas
o   Sistemas de ecuaciones
o   Métodos de evaluación

·         Ecuaciones cuadráticas
o   Métodos de solución

1.-Representación algebraica de expresiones en lenguaje comun

El lenguaje común es el que comúnmente utilizamos a través de un denominado código o lenguaje, por lo que a partir de este podemos relacionarnos mutuamente, ya que lo ocupamos en la vida diaria.

El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

Términos para identificar las operaciones en lenguaje algebraico:

Suma.- Adición, aumentar, sumar, añadir, exceder, más, agregar.

Resta.- Sustraer, diferencia, menos, disminuir, menos que, menos, de, quitar, reducir.

Multiplicación.- Producto, por, multiplicado por, tantas veces, el producto de, incrementar.

División.- Cociente, entre, dividido por, razón de, fracción, porción, parte, reparto, mitad, tercio, cuarto.

EJEMPLOS:

2.-Leyes de Exponentes y Radicales

POTENCIAS 

La potencia de un número es el producto de varios factores iguales a él.

El número que se multiplica por sí mismo se llama base de la potencia.

Para señalar potenciación se escribe la base y en su parte superior derecha se escribe un número pequeño

que indica cuántas veces se toma como factor dicha base; este número pequeño recibe el nombre

de exponente.

LEYES DE LOS EXPONENTES:

RADICACIÓN 

La radicación es la operación inversa de la potenciación y permite hallar la base correspondiente conociendo

las potencias y el exponente.

El radicando también recibe el nombre de subradical.

LEYES DE RADICACIÓN

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

El exponente fraccionario y las leyes de radicales se utilizan para hacer algunos cambios en los radicales,

como son:

·         Sacar  factores del radical.

·         Introducir un factor al radical.

·         Racionalización de denominadores.

·         Expresar un radical como otro de orden (índice) menor.

Obtener factores del radical

Para simplificar un radical, se descompone o factoriza el radicando en factores cuyos exponentes sean

múltiplos del índice. Las raíces de estos factores se escriben fuera del radical y los factores “sobrantes”

forman el nuevo radicando.

Es decir, simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión, para esto sacamos del radical los

factores que sea posible, racionalizamos y expresamos el radical como otro de índice menor.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES 

Radicales semejantes

Son aquellos radicales que tienen el mismo índice de la raíz y el mismo radicando, sólo difieren en el signo y el coeficiente

Para efectuar operaciones de suma y resta algebraica de radicales, previamente los radicales deben

simplificarse. La suma algebraica de radicales semejantes es un radical del mismo grado, cuyo coeficiente

resulta de suma algebraica de los coeficientes numéricos.

En los siguientes ejemplos, se muestra la suma de radicales semejante:

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES 

Cuando se tienen radicales del mismo índice,  se utiliza la ley de los radicales:

Ejemplos:

Cuando se tienen radicales de distinto índice:

En este caso, los radicales se reducen al mínimo común índice y se multiplican como en el caso descrito

anteriormente.

La reducción de los radicales al mínimo común índice requiere obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m)

de los índices, que será el índice común; posteriormente, se eleva la cantidad del subradical a la potencia que

resulta de dividir el índice común entre el índice del subradical.

Para multiplicar un radical por una expresión que contiene más de un término o dos expresiones radicales,

cada una con más de un término, se aplica la metodología o proceso empleado en la multiplicación de

polinomios.

DIVISIÓN DE RADICALES 

Cuando se tienen radicales del mismo índice,  se utiliza la ley de los radicales:

Cuando se tienen radicales de diferente índice:   Se expresan los radicales en forma exponencial, y

posteriormente se aplican las propiedades de los exponentes.

RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR 

Las operaciones con fracciones que contienen un radical en el denominador se facilitan si antes de

trabajar con ellas se racionaliza el denominador.

Racionalizar el denominador

Es un procedimiento que consiste en transformar una fracción que      contiene un radical en el denominador en otra fracción equivalente que no contenga ningún radical en el denominador. 3.-ECUACIÓN LINEAL CON UNA INCÓGNITA Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.  Una ecuación de una variable  definida sobre un cuerpo , es decir, con  donde x es la variable, admite la siguiente solución: Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO En matemática, la resolución de una ecuación es el procedimiento de cálculo para encontrar cuáles son los valores (números,funciones, conjuntos, etc.) que cumplen la condición indicada como una igualdad (una ecuación). Estos valores se suelen denominarraíces de la ecuación. La resolución de ecuaciones polinómicas, o algebraicas, juega un papel importante en el nacimiento y posterior desarrollo del álgebra. La rama de las matemáticas que las estudia es la teoría de ecuaciones.1 Una ecuación comprende expresiones con variables indefinidas, o incógnitas, que deben ser sustituidas por valores de forma tal que la igualdad sea cierta. Para caracterizar las soluciones de una ecuación se imponen restricciones sobre las incógnitas. En general, se pide que pertenezcan a un conjunto numérico específico. La resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas mediante factorización de raíces es bastante sencilla cuando las raíces son racionales o reales; también hay fórmulas que proporcionan las soluciones. Sin embargo, no hay una fórmula general en términos de raíces para las ecuaciones de quinto grado sobre los racionales; mediante un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces. Esto lo probó por primera vez el teorema de Abel-Ruffini, publicado en 1824, que fue una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en el álgebra. Este resultado también se cumple para ecuaciones de mayor grado. Sistemas de Ecuaciones En matemáticas, un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemáticoque consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos menores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices. 4.-Ecuaciones Lineales con dos incognitas Metodos de Solucion Método de reducción Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.

Método de igualación

Método de sustitución

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Una ecuación de segundo grado^1 2 o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio desegundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

                                

donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las intersecciones o punto tangencial de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje X coinciden con las soluciones reales de la ecuación.